Çok değişkenli Fonksiyon II: Uygulamalar / Multivariable Calculus II: Applications

Koç University via Coursera

Go to Course: https://www.coursera.org/learn/calculus-diferansiyel-hesap

Introduction

### Course Review: "Çok Değişkenli Fonksiyon II: Uygulamalar / Multivariable Calculus II: Applications" #### Overview The "Çok Değişkenli Fonksiyon II: Uygulamalar" (Multivariable Calculus II: Applications) course available on Coursera serves as the second installment in a two-part series on multivariable functions. Building upon the foundational concepts covered in the first course, this advanced course delves deeper into topics of derivatives and integrals, equipping learners with essential problem-solving techniques and practical applications relevant to real-world scenarios. The curriculum is designed with a focus on substantive teaching, making it an exciting opportunity for those looking to enhance their skills in calculus. #### Course Structure The course is structured into several sections, each targeting specific topics in multivariable calculus: 1. **Summary of Multivariable Calculus I and Integrals in Polar Coordinates** This section revisits core concepts from the first course, including second-degree functions, partial derivatives, and double integrals. The importance of computation order in double integrals is highlighted with examples, alongside discussions on tangent planes and differentials. 2. **Selective Topics on Derivative Applications** Students explore coordinate transformations, Jacobians, and fundamental equations in physics (wave equations, diffusion equations, Schrödinger equations). This section briefly touches on the extension of results from two-variable functions to three or even "n" variables, plus the relation to complex-valued functions. 3. **Chain Derivatives and Jacobians in Multivariable Contexts** Here, learners focus on finding local, absolute, and constraint-based extrema, including an introduction to optimization methods using Lagrange multipliers. 4. **Surface and Volume Integrals in Space** This segment teaches how surfaces are defined in space and integrates fundamental shapes (spheres, cones, paraboloids) into calculating associated areas and volumes. 5. **Flux Integrals in the Plane** This part focuses on volume definitions related to closed surfaces, utilizing Cartesian, cylindrical, and spherical coordinates for triple integral calculations. 6. **Green's and Stokes' Theorems in Space** Learners are introduced to vector fields, exploring integrals across plane curves and understanding the relationship between these integrals and the theorems. 7. **Exploring Conservation Laws through Stokes and Green-Gauss Theorems** The course culminates with applications of these fundamental theorems to derive basic conservation laws in nature, integrating knowledge from previous sections seamlessly. 8. **Final Examination** To assess comprehension and mastery of the material, a final exam concludes the course. #### Pros - **Comprehensive Curriculum:** This course offers an extensive range of topics that not only cover theoretical need but also practical applications, ensuring a well-rounded educational experience. - **Real-World Applications:** The course makes a significant effort to relate abstract concepts to real-world scenarios, which is particularly beneficial for students aiming for careers in science, engineering, or mathematics. - **Structured Learning:** With clear sections focused on various topics, learners can digest complex materials piece by piece, making it less overwhelming than some advanced mathematics courses. #### Cons - **Language Barrier:** The course is taught in Turkish, which may limit accessibility for non-Turkish speakers. However, the rigorous mathematical content may still appeal to those familiar with the terms used in both languages. - **Fast-Paced Learning:** Some students may find the accelerated nature of the second course challenging without a firm grasp of the basic concepts from the first course. #### Recommendation I highly recommend "Çok Değişkenli Fonksiyon II: Uygulamalar" for students seeking to deepen their understanding of multivariable calculus, especially those interested in its applications in the natural sciences or engineering. The well-structured approach, combined with practical applications and a comprehensive curriculum, makes this course a valuable addition to your educational repertoire. Whether you are continuing from the first course or are looking to gain insight into advanced calculus topics, this course will significantly enhance your mathematical skills and prepare you for more complex analyses in various fields.

Syllabus

Multivar 1'in Özeti, Dairesel Koordinatlarda Entegraller

İki değişkenli fonksiyonlardan hatırlatmalar: ikinci derece fonksiyonlar, kısmi türev ve iki katlı entegrallerdeki temel tanımlar ve geometrideki anlamları; iki değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegrallerdeki temel hesaplama yöntemleri, iki katlı entegral hesaplamasında sıranın öneminin örneklerle hatırlatılması; teğet düzlem ve diferansiyel; tam türev ve zincirleme türev. Yöne göre türev. Gradyan, Bu sonuçların üç ve “n” değişkenli fonksiyonlara genellenmesi.

Türev Uygulamalarından Seçme Konular

İki değişkenli fonksiyonlarda Koordinat dönüşümleri ve Jakobiyan. Diverjans, Rotasyonel ve Laplasyen. Dairesel koordinatlarda gradyan. Doğanın dört temel kısmi türevli denklemi: dalga, sızma, Laplace denklemleriyle Schrödinger denkleminin tanıtılması. İki değişkenli sonuçların üç değişkene ve mümkün olan durumlarda “n” değişkene genellenmesi. Karmaşık değerli fonksiyonların özel yapısıyla kısmi türevler ve tam türev.

Çok Değişkenle Zincirleme Türev ve Jakobiyan

En büyük ve en küçük değerler: yerel, mutlak ve kısıtlama altında. Kısıtlama altında en iyiyi arama (optimizasyon) ve Lagrange çarpanı yöntemi. Kısmi türevlerin uygulaması ile değişimler hesabına giriş.

Uzayda Yüzey ve Hacım Entegralleri

Uzayda yüzeylerin açık, kapalı ve parametrik fonksiyonlarla gösterilmeleri ve eğrisel koordinatlar. sonsuz küçük yüzey alanları seçeneklerinin birleştirilmiş bir yaklaşımla elde edilmesi. Uzayda küre, koni, paraboloitler gibi temel yüzeylerin tanıtılması ve bunları içeren alanlarla hesaplar.

Düzlemde Akı Entegralleri

Uzayda kapalı yüzeylerle tanımlanan hacımlar; sonsuz küçük hacımların birleştirilmiş yaklaşımla elde edilmesi. Jakobiyan ve sonsuz küçük hacım. Kartezyen, silindir ve küresel koordinatlarla uzaydaki yüzey ve cisimlerde üç katlı entegral hesaplamaları. Uzayda küre, koni, paraboloitler gibi temel yüzeylerle tanımlanan hacımlardan örnekler ve bunları içeren hacım hesapları.

Düzlemde Green, Uzayda Stokes ve Green-Gauss Teoremleri

Vektör alanlarının tanıtılması; vektör alanlarıyla türev ve entegral. Düzlem eğrilerinde entegraller. Entegralin yörüngeye bağlı ve yörüngeden bağımsız olması. Düzlem eğrilerinde birinci ve ikinci Green teoremleri. Düzlemdeki Green teoremlerinin vektörler, rotasyonel ve diverjansla gösterimi.

Stokes ve Green-Gauss teoremleri ve doğanın korunum yasaları

Düzlemdeki Green teoremlerinden uzayda Stokes ve Green – Gauss teoremlerine geçiş. Uzayda Green – Gauss ve Stokes teoremleriyle yüzey ve hacım entegralleri. Diverjans, rotasyonel ve Laplasyen’in anlamı. Uzayda Green – Gauss ve Stokes teoremleriyle doğadan temel korunum denklemlerinin elde edilmesi. Kütle, elektrik yükü ve ısı enerjisinin korunmasında uygulamalar.

Dönem Sonu Sınavı